A unifying formulation for nonlinear solid mechanics and Finite Element Analysis

Resumen

Una formulación unificadora para la mecánica de sólidos no lineal y el análisis por el Método de los Elementos Finitos. El método de los elementos finitos es una tecnología bien conocida que permite obtener una aproximación al comportamiento estructural real de un medio sólido continuo sometido a fuerzas externas. Su uso está ampliamente extendido en ingeniería civil y en muchos otros campos, como la ingeniería naval o la aeronáutica. Esta formulación puede obtenerse bajo el marco de los análisis lineal o no lineal. Si se supone que los desplazamientos y sus correspondientes gradientes son pequeños, el análisis se simplifica considerablemente, y resulta realizarse bajo los supuestos de la teoría lineal. Sin embargo, si los desplazamientos y/o los gradientes de los desplazamientos se consideran grandes, surge el análisis no lineal. Como ambos análisis se basan en supuestos diferentes, conducen a respuestas estructurales completamente distintas. Y la exactitud de los resultados depende de la precisión de las hipótesis realizadas. Es decir, si la estructura no experimenta pequeños desplazamientos o pequeños gradientes de desplazamiento, el análisis lineal conduce a resultados inaceptables que difieren significativamente del comportamiento real. Antes de llevar a cabo una simulación estructural, el ingeniero tiene que decidir, basándose en su experiencia e intuición, si los supuestos lineales son correctos. Si la respuesta estructural real no verifica las hipótesis lineales, hay que descartar el análisis lineal y realizar uno no lineal para obtener resultados precisos. Por lo tanto, las hipótesis adoptadas acerca de la magnitud tanto de los desplazamientos como de los gradientes de los desplazamientos son muy importantes, ya que definen el marco teórico del análisis estructural. Es necesario definir claramente las implicaciones de cada supuesto. En la literatura existente, la mayoría de las referencias no identifica claramente las implicaciones de estos supuestos. Por lo tanto, uno de los principales objetivos de este trabajo es identificarlas claramente y definir adecuadamente los modelos matemáticos lineales y no lineales que rigen el comportamiento estructural asociado a cada análisis. Para lograr este objetivo, se propone una formulación unificadora de la mecánica de sólidos lineal y no lineal completa y detallada. Esta formulación permite describir y comprender completamente la deformación que experimenta un sólido elástico a lo largo del tiempo. Se propone una nomenclatura novedosa, sencilla y clara para enunciar adecuadamente los principios de la mecánica de sólidos y las ecuaciones estrictamente necesarias que describen este proceso de deformación. Una vez que los modelos matemáticos están bien planteados, se puede aplicar el método de los elementos finitos. Se presenta una obtención original completa tanto en teoría lineal como no lineal. Se presenta también el desarrollo lineal para compararlo con su versión no lineal. Una de las principales diferencias entre ambas formulaciones radica en la forma de aplicar las fuerzas externas. En general, la formulación lineal conduce a un comportamiento lineal, mientras que la no lineal conduce a uno no lineal. Mientras la respuesta sea lineal, la carga total puede aplicarse en un solo paso, y el principio de superposición de cargas de la teoría lineal puede aplicarse adecuadamente. Sin embargo, este principio ya no se puede aplicar cuando se trata con un comportamiento no lineal. Si la respuesta es no lineal, un estado de carga dado tiene múltiples soluciones posibles. Por lo tanto, la carga total no puede aplicarse en un solo paso, y hay que tener en cuenta el historial de carga para obtener la solución correcta. Para solventar estos inconvenientes, las cargas externas suelen aplicarse según un proceso de carga incremental. Esta estrategia incremental es en realidad un procedimiento adecuado, ya que la respuesta estructural correspondiente a cada paso de carga debe resolverse de forma iterativa. Este procedimiento necesita empezar a iterar desde una aproximación cercana a la solución. Si las cargas incrementales son lo suficientemente pequeñas, el resultado del paso de carga anterior puede adoptarse para iniciar el procedimiento iterativo, y la convergencia debería estar garantizada. Numerosos libros de texto de referencia y trabajos de investigación abordan la obtención de las formulaciones de elementos finitos no lineales. Sin embargo, no existe consenso sobre una nomenclatura y notación comunes. Además, las hipótesis formuladas a lo largo de estos desarrollos no se especifican claramente o ni siquiera se enuncian. Por lo tanto, para comprender completamente la física subyacente y la esencia de los algoritmos propuestos, se hace necesaria una visión más detallada que lo aclare. En esta tesis se hace un gran esfuerzo por identificar claramente las hipótesis intermedias y analizar ampliamente el origen y la composición de las matrices que surgen en el análisis no lineal. Se elabora una guía detallada que facilita el aprendizaje profundo de esta potente tecnología. Este trabajo plantea una formulación unificadora, clara y completa en el campo del análisis no lineal, para que la extensión de algunas líneas de investigación que hasta ahora se han llevado a cabo en teoría lineal sea posible.