A unifying formulation for nonlinear solid mechanics and Finite Element Analysis

Resumo

Unha formulación unificadora para a mecánica de sólidos non lineal e a análise polo Método dos Elementos Finitos. O método dos elementos finitos é unha tecnoloxía ben coñcida que permite obter unha aproximación ao comportamento estrutural real dun medio sólido continuo sometido a forzas externas. O seu uso está amplamente estendido en enxeñería civil e en moitos outros campos, como a enxeñería naval ou a aeronáutica. Esta formulación pode baixo o marco das análises lineal ou non lineal. Se se supón que os desprazamentos e os seus correspondentes gradientes son pequenos, a análise simplifícase considerablemente, e resulta realizarse baixo os supostos da teoría lineal. Con todo, se os desprazamentos e/o os gradientes dos desprazamentos se consideran grandes, xorde a análise non lineal. Como as dúas análises baseánse en supostos diferentes, conducen a respostas estruturais completamente distintas. E a exactitude dosresultados depende da precisión das hipóteses realizadas. É dicir, se a estrutura non experimenta pequenos desprazamentos ou pequenos gradientes de desprazamento, a análise lineal conduce a resultados inaceptables que difiren de forma significativa do comportamento real. Antes de levar a cabo unha simulación estrutural, o enxeñeiro ten que decidir, baseándose na súa experiencia e intuición, se os supostos lineais son correctos. Se a resposta estrutural real non verifica as hipóteses lineais, hai que descartar a análise lineal e realizar unha non lineal para obter resultados precisos. Por tanto, as hipóteses adoptadas acerca da magnitude tanto dos desprazamentos como dos gradientes dos desprazamentos son moi importantes, xa que definen o marco teórico da análise estrutural. É necesario definir claramente as implicacións de cada suposto. Na literatura existente, a maioría das referencias non identifica claramente as implicacións destes supostos. Por tanto, un dos principais obxectivos deste traballo é identificalas claramente e definir adecuadamente os modelos matemáticos lineais e non lineais que rexen o comportamento estrutural asociado a cada análise. Para lograr este obxectivo, proponse unha formulación unificadora da mecánica de sólidos lineal e non lineal completa e detallada. Esta formulación permite describir e comprender completamente a deformación que experimenta un sólido elástico ao longo do tempo. Proponse unha nomenclatura nova, sinxela e clara para enunciar adecuada mente os principios da mecánica de sólidos e as ecuacións estritamente necesarias que describen este proceso de deformación. Unha vez que os modelos matemáticos están ben expostos, pódese aplicar o método dos elementos finitos. Preséntase unha obtención orixinal completa tanto en teoría lineal como non lineal. Preséntase tamé n o caso lineal para comparalo coa versión non lineal. Unha das principais diferenzas entre ámbalas formulacións radica na forma de aplicar as forzas externas. En xeral, a formulación lineal conduce a un comportamento lineal, mentres que a non lineal conduce a unha resposta non lineal. Mentres a resposta sexa lineal, a carga total pode aplicarse nun só paso, e mantense o principio de superposición de cargas que adoita aplicarse na teoría lineal. Con todo, este principio non pode aplicarse cando se trata cun comportamento non lineal. Se a resposta é non lineal, un estado de carga dado ten múltiples solucións posibles. Por tanto, a carga total non pode aplicarse nun só paso, e hai que ter en conta o historial de carga para chegar á solución correcta. Para superar estes inconvenientes, as cargas externas adoitan aplicarse segundo un proceso de carga incremental. Esta estratexia incremental é en realidade un procedemento adecuado, xa que a resposta estrutural correspondente a cada paso de carga debe resolverse de forma iterativa. Este procedemento necesita empezar a iterar desde unha aproximación próxima á solución. Se as cargas incrementais son o suficientemente pequenas, o resultado do paso de carga anterior pode adoptarse para iniciar o procedemento iterativo, e a converxencia debería estar garantida. Numerosos libros de texto de referencia e traballos de investigación abordan a obtención das formulacións de elementos finitos non lineais. Con todo, non existe consenso sobre unha nomenclatura e notación comúns. Ademais, as hipóteses formuladas ao longo destas derivacións non se especifican claramente ou nin sequera se enuncian. Por tanto, para comprender completamente a física subxacente e a esencia dos algoritmos propostos, faise necesaria unha visión detallada que os aclare. Nesta tese faise un grande esforzo por identificar claramente as hipóteses intermedias e analizar amplamente a orixe e a composición das matrices que xorden na análise non lineal. Proponse unha guía detallada que facilita a aprendizaxe profunda desta potente tecnoloxía. Este traballo expón unha formulación unificadora, clara e completa no campo da análise non lineal, para que a extensión dalgunhas liñas de investigación que ata o de agora se levaron a cabo en teoría lineal sexa posible.