Mathematical models and numerical methods for XVA in multicurrency setting

Resumen

Esta tesis está dedicada al modelado matemático y simulación numérica de problemas de valoración de opciones financieras que incluyen ajuste de valoración total (XVA) en un marco multi-divisa. Con el fin de construir los modelos, suponemos opciones europeas sobre subyacentes escritos en diferentes monedas, un diferencial crediticio de la contraparte estocástico y, eventualmente, tasas de cambio también estocásticas. Dependiendo de la elección del valor de mercado del derivado en caso de incumplimiento (mark to market), deducimos ecuaciones en derivadas parciales lineales y no lineales. También hacemos uso de los teoremas (lineal y no lineal) de Feynman-Kac para deducir los modelos equivalentes en términos de esperanzas. Para los modelos deducidos proponemos su resolución mediante distintos métodos numéricos. Cuando el número de variables estocásticas es inferior o igual a dos proponemos un esquema de Lagrange-Galerkin (basado en el método de las características y el método de elementos finitos), eventualmente combinado con una técnica de punto fijo para los problemas no lineales. Para los casos que involucran más de dos subyacentes y/o tasas de cambio estocásticas, proponemos simulaciones basadas en el método de Monte Carlo, combinadas con un método de Picard o el más eficiente esquema de iteración de Picard multinivel para los problemas no lineales. Aplicamos todas estas técnicas para valorar diferentes opciones europeas, habiendo obtenido buenos resultados que validan tanto los modelos como los métodos numéricos propuestos.