Mathematical models and numerical methods for XVA in multicurrency setting

Resumo

Esta tese está dedicada ao modelado matemático e simulación numérica de problemas de valoración de opcións financeiras que inclúen axuste de valoración total (XVA) nun marco multi-divisa. Co fin de construír os modelos, supomos opcións europeas sobre subxacentes escritos en diferentes moedas, un diferencial crediticio da contraparte estocástico e, eventualmente, taxas de cambio tamén estocásticas. Dependendo da elección do valor de mercado do derivado en caso de incumprimento (mark to market), deducimos ecuacións en derivadas parciais lineais e non lineais. Tamén facemos uso dos teoremas (lineal e non lineal) de Feynman-Kac para deducir os modelos equivalentes en termos de esperanzas. Para os modelos deducidos propomos a súa resolución mediante distintos métodos numéricos. Cando o número de variables estocásticas é inferior ou igual a dous propomos un esquema de Lagrange-Galerkin (baseado no método das características e o método de elementos finitos), eventualmente combinado cunha técnica de punto fixo para os problemas non lineais. Para os casos que involucran máis de dous subxacentes e/ou taxas de cambio estocásticas, propomos simulacións baseadas no método de Monte Monte Carlo, combinadas cun método de Picard ou o máis eficiente esquema de iteración de Picard multinivel para os problemas non lineais. Aplicamos todas estas técnicas para valorar diferentes opcións europeas, obtendo bos resultados que validan tanto os modelos como os métodos numéricos propostos. Carlo, combinadas cun método de Picard ou o máis eficiente esquema de iteración de Picard multinivel para os problemas non lineais.