Clasificación de 4-símplices vacíos y otros politopos reticulares

Resumen

Un d-politopo es la envolvente convexa de un conjunto finito de puntos en Rd. En particular, si un d-politopo está generado por exactamente d + 1 puntos se dice que es un símplice o un d-símplice. Además si tomamos los puntos con coordenadas enteras, se dice que el politopo es reticular. A lo largo de esta tesis doctoral se estudian los politopos reticulares y, más concretamente, se estudian dos tipos de estos que son los politopos reticulares vacíos (cuyos únicos puntos reticulares son los vértices) y los politopos reticulares huecos, politopos reticulares que no poseen puntos reticulares en su interior relativo, es decir, todos sus puntos reticulares se encuentran en la frontera. Los politopos huecos, también vacíos, aparecen como el ejemplo más sencillo de politopos reticulares al no tener puntos enteros en el interior de su envolvente convexa. El principal resultado de la tesis doctoral es la clasificación de símplices vacíos en dimensión 4. Mientras los casos en dimensión 1 y 2 son triviales y el caso de dimensión 3 estaba concluido desde 1964 con el trabajo de White [Whi64], con este trabajo se completa esta clasificación en dimensión 4. Artículos como el de Mori, Morrison y Morrison [MMM88] en 1988 consiguen describir algunas familias de 4-símplices vacíos de volumen primo en términos de quíntuplas. Otros trabajos como el de Haase y Ziegler [HZ00] en el 2000, obtienen resultados parciales de esta clasificación. En particular, en ese trabajo se conjeturó una lista completa de 4-símplices vacíos con anchura mayor que dos, la cual se prueba completa en esta tesis. Empleando técnicas de geometría convexa, geometría de números y resultados previos sobre la relación entre la anchura de un politopo y su volumen, somos capaces de establecer unas cotas superiores para los 4-símplices vacíos que deseamos clasificar. Con estas cotas para el volumen de los símplices y una gran cantidad de computación de estos politopos reticulares en dimensión 4 somos capaces de completar la clasificación, explicando el método general utilizado para describir las familias de símplices vacíos que aparecen en la clasificación. Una vez clasificados los símplices vacíos en dimensión 4, y empleando los resultados de las computaciones que han sido realizadas, se determinan todos los h- vectores para estos politopos reticulares y se demuestra que todo 4-símplice vacío posee al menos 2 facetas unimodulares, un resultado que había sido anunciado como cierto, pero del cual no se disponía una prueba completa. Para finalizar la tesis doctoral se establecen una serie de generalizaciones de los resultados empleados para lograr la clasificación de los 4-símplices vacíos que dan lugar a un procedimiento de clasificación para otros tipos de politopos reticulares, como son los 5-símplices vacíos o los d-símplices huecos, con d =4, aunque más computaciones y cálculos serían necesarios para completar dichas clasificaciones.