Integral definida, cálculo mental y nuevas tecnologías

Resumo

El trabajo de investigación que presentamos consiste en: Investigar los aprendizajes que se producen en los estudiantes de segundo curso de Bachillerato de Ciencias Sociales sobre la integral definida al integrar la docencia tradicional, el cálculo mental de primitivas elementales y las nuevas tecnologías con el programa de cálculo simbólico DERIVE. Esta investigación está inscrita en el área de conocimiento de Didáctica de la Matemática y ha sido realizada bajo el marco metodológico cualitativo de investigación en la acción, con apoyos cuantitativos siguiendo la escala Likert, y el modelo teórico de los actos de comprensión de Sierpinska, el cual cumple todos los criterios establecidos por Schoenfeld (2000) y Meel (2003). La parte teórica se compone de los siguientes apartados: - El estudio de los antecedentes, cuyos investigadores más significativos son: Abrahamson (1998); Artigue (1995 y 2003); Azcárate y cols. (1996); Blázquez (1999); Brousseau (1983); Cabañas y Cantoral (2007); Camacho (2005); Cockcroft y cols. (1978); Contreras y Ordóñez (2003, 2005, 2006 y 2010); Cordero (2001 y 2005); Depool (2004); Drijvers (2002); Dubinsky (1990); Eisenberg (1994); Faria (2008); González-Martín (2006); Hawking y cols. (2010); Llorens y Santonja (1997); Lois y Milevicich (2008); Ortega (2004, 2006 y 2008); Pérez (2008); Rouche (2004); Schneider (1988, 1989 y 1991); Sierpinska (1985, 1987, 1990 y 1996); Sierra y Codes (2005); Tall (1996); Trouche (2002) y Turégano (1994 y 2006). - Un breve resumen de las características de la investigación-acción siguiendo los manuales de Kemmis y McTaggart (1988), Hopkins (1989), Pérez Serrano (1994) y Elliott (1997). - La presentación de varios modelos teóricos, utilizados en investigaciones en didáctica de las matemáticas, éstos son: imagen conceptual y definición conceptual de Tall y Vinner (1981, 1991 y 1996); dificultades, obstáculos y errores (Brousseau, 1983 y 1998; Kilpartick, Gómez y Rico, 1995 y Barrantes, 2006); los actos de comprensión de Sierpinska (1990, 1994 y 1996); la transposición didáctica de Chevallard (1985 y 1998); las representaciones semióticas de Duval (1993, 1995, 1999 y 2006); las situaciones didácticas de Brousseau (1986 y 1996) y la teoría APOE (acciones, procesos, objetos y esquemas) de Dubinsky y cols. (1991 y 1996) cuya metodología ACE (actividades con ordenador, discusiones en clase y ejercicios de afianzamiento) ha sido utilizada, en parte, en esta investigación. - La epistemología del área y la integral, según la clasificación establecida por Capace y Arrieche (2007), entre cuyos científicos más relevantes destacamos a: Hipócrates de Chios (470-410 a.C.), Euclides (325-265 a.C.), Arquímedes (287-212 a.C.), Nicolás de Oresme (1323-1382), Cavalieri (1598-1647), Fermat (1601-1665), Barrow (1630-1677), Newton (1642-1727), Leibniz (1646-1716), Cauchy (1789-1857), Riemann (1826-1866), Darboux (1842-1917) y Lebesgue (1875-1943). - El análisis curricular del concepto integral (definida e indefinida) realizado en once libros de texto de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II y, para ello, se han determinado las correspondientes categorías y subcategorías de contenido matemático. - La elaboración de una unidad didáctica del área y la integral definida, para ser enseñada en Bachillerato, en la cual: se establece el área del rectángulo (según la tipología numérica de su base y su altura) y el área del círculo, se construye la integral de Darboux por medio de extremos y se demuestra el teorema fundamental del cálculo mediante sumas discretas, con apoyos gráficos, y el teorema de los incrementos finitos. Además, las sumas de Riemann formalizadas en la demostración del teorema fundamental del cálculo generalizan el teorema del valor medio de la integral definida para cualquier partición P del intervalo [a,b]. La parte experimental se realiza con estudiantes de segundo curso de Bachillerato de Ciencias Sociales y está estructurada en seis ciclos de investigación-acción (exploración I, confirmación II y III, consolidación IV y V y, el último, cierre VI), cada uno de ellos con sus respectivas fases (planificación, acción, análisis y reflexión), y siguiendo un proceso en espiral hasta llegar a la saturación. En esta sección encontramos, entre otras, las siguientes aportaciones: - Los aprendizajes de los estudiantes de los conceptos inherentes a la integral definida analizados mediante el establecimiento de categorías de comprensión matemática según los actos de comprensión de Sierpinska (identificación, discriminación, generalización y síntesis) y con la metodología cualitativa investigación-acción. - Los resultados prácticos del cálculo mental de primitivas elementales, cuya acción ha sido realizada en los primeros diez minutos de cada sesión de clase en el aula de grupo. - Los resultados de la utilización del programa de cálculo simbólico DERIVE, junto con el programa de utilidades realizado por el profesor investigador, en la enseñanza y el aprendizaje de la integral. Se han realizado dos descomposiciones de la integral definida: la primera es una descomposición genética según la teoría APOE, pues las de los antecedentes (Czarnocha y cols., 2001 y Boigues y cols., 2007 y 2010) han sido realizadas en el contexto de la enseñanza-aprendizaje de la integral en el ámbito universitario y no son apropiadas para estudiantes de enseñanza media, y la segunda viene determinada según los actos de comprensión de Sierpinska y los obstáculos y/o las dificultades de los conceptos que nos ocupan. Esta última sirve de base teórica para analizar las producciones de los estudiantes. Finalmente se establece una relación de problemas abiertos que pueden ser investigados, se realiza una propuesta curricular para la enseñanza y el aprendizaje de la integral definida en Bachillerato y se presentan las conclusiones, éstas son las más importantes: - La enseñanza y el aprendizaje de la integral definida es difícil en Bachillerato, sin embargo, todas las dificultades que conlleva este concepto no son excusa para que las Administraciones Educativas la excluyan del currículo de Matemáticas de Bachillerato de Ciencias Sociales. - La epistemología del área y la integral no puede ser desdeñada si el profesor desea realizar una buena docencia de la integral definida. - Los estudiantes muestran interés por el cálculo mental de primitivas elementales, aunque los resultados obtenidos son discretos. - Los estudiantes comprenden mejor la integral de Darboux que la integral de Riemann, por tanto, en Bachillerato es más aconsejable establecer la integral de Darboux que la integral de Riemann. - La integral de Darboux debemos definirla mediante la igualdad de la integral inferior (extremo superior de las sumas inferiores) e integral superior (extremo inferior de las sumas superiores) en lugar de establecerla mediante la igualdad de los límites de las sumas inferiores y superiores. - El teorema fundamental del cálculo se debe introducir por medio de sumas discretas y demostrarse mediante el teorema de los incrementos finitos con apoyos gráficos, lo cual coincide con las propuestas de Fischer (1983), Azcárate y cols. (1996) y Ortega (2004 y 2008). No es aconsejable tomar la función integral, proceder a derivarla, y continuar con el segundo teorema fundamental del cálculo (Spivak, 1991). - DERIVE, con subprogramas de utilidades, favorece la comprensión y adquisición del concepto integral definida por parte de los estudiantes. - Los estudiantes de Bachillerato de Ciencias Sociales han aprendido los conceptos inherentes a la integral definida con una dificultad moderada.