Distribución del Producto de Distribuciones Normales

Resumen

La distribución normal es, posiblemente, la distribución estadística más frecuente y, por ello, la más estudiada. En este trabajo, nos centramos en el producto de dos distribuciones normales. A pesar de que este problema se ha analizado y estudiado desde principios del siglo XX, aún no se ha determinado una expresión exacta de la función de distribución ni de la función de densidad parcial del producto. Sabemos que se puede definir mediante una diferencia de dos integrales, pero no tenemos una expresión analítica de las mismas, disponemos sólo de aproximaciones mediante integración numérica. Por otro lado, se han intentado diversas aproximaciones a la distribución del producto, sin que se haya podido determinar una distribución estadística que refleje de forma completamente correcta la distribución del producto. En el capítulo 2 de este trabajo hemos analizado los estudios anteriores que han tratado de resolver este problema, en un período histórico que abarca desde los años 30 del siglo pasado hasta las tentativas más recientes, publicadas hace poco más de tres años. Siguiendo dichos análisis hemos realizado diversas simulaciones para intentar obtener la mejor aproximación a la distribución del producto. El capítulo 3 se ha centrado en el estudio de las estadísticas de la distribución del producto. A partir de la expresión de la función generadora de momentos del producto se han determinado la media, varianza, coeficiente de asimetría y coeficiente de kurtosis (y de exceso de kurtosis) del producto de dos distribuciones normales. A partir del estudio de estos estadísticos se puede parametrizar alguna distribución, en función de los parámetros de las distribuciones normales que constituyen el producto. En el capítulo 4 hemos analizado la distribución normal asimétrica y la distribución normal asimétrica extendida. Nuestro estudio se ha centrado en la evolución de los estadísticos del coeficiente de asimetría y coeficiente de kurtosis de estas distribuciones, que son generalizaciones de la distribución normal. En este trabajo hemos demostrado que el producto de distribuciones normales, bajo determinadas circunstancias, se puede modelar como una distribución normal asimétrica con los parámetros adecuados. En nuestro estudio hemos considerado diversas simulaciones del producto de distribuciones normales para lo que hemos utilizado tanto un software matemático de carácter comercial privado: el software Mathematica de la compañía Wolfram Research Inc., como un software matemático libre: el software R, de R Core Team. La principal conclusión del trabajo sería la determinación del producto de distribuciones normales como una distribución normal asimétrica extendida, para el caso en el cual por lo menos una de las dos distribuciones normales del producto presenta un valor del inverso del coeficiente de variación superior o igual a 1. Cuando ambas distribuciones normales presentan valores del inverso del coeficiente de variación inferiores a 1, la aproximación mediante la distribución normal asimétrica extendida no es tan acertada.