Métodos numéricos para problemas de convección difusión. Aplicación a la convección natural

Abstract

Importantes problemas de diferentes campos de la Ingeniería y las ciencias aplicadas se modelan a través de la ecuación de convección-difusión; por ejemplo en mecánica de fluidos, transferencia de calor, finanzas, etc, Concretamente, los procesos de convección natural se modelan a través de dichas ecuaciones. Dichos procesos se originan cuando en un fluido se producen variaciones de temperatura, originando variaciones espaciales de densidad, lo que ocasiona que el fluido esté sometido a distintas fuerzas gravitatorias que pueden originar su movimiento. Los procesos de convección natural presentan numerosas aplicaciones en situaciones reales, por ejemplo, cuando se tratan problemas de climatización en arquitectura, de contaminación marina, de diseño de ventanas de doble cristal, etc. Uno de los objetivos de este trabajo es desarrollar métodos numéricos precisos y estables para problemas de convección-difusión. En muchos casos el término difusivo es más pequeño que el término convectivo, dando lugar a problemas de convección dominante. Incluso en algunas situaciones el término difusivo se vuelve degenerado, como ocurre en algunos modelos de valoración de productos financieros. Es un hecho bien conocido que para problemas hiperbólicos es más complicado desarrollar métodos numéricos precisos y estables que para problemas elípticos o parabólicos. Esta desventaja también la presentan los métodos de convección dominante; una prueba de ello es que el método de Galerkin estándar no es una técnica adecuada de discretización para estos problemas. Por este motivo, se ha llevado a cabo una intensa actividad investigadora en este campo con objeto de desarrollar métodos numéricos que proporcionen aproximaciones más precisas y estables del término convectivo. Para ello es necesario utilizar técnicas que descentren las discretizaciones de dicho término convectivo; como son, métodos de características, métodos distributivos, métodos estabilizados, etc. Por este motivo, en este trabajo proponemos dos estrategias diferentes que descentran el término convectivo: métodos de características y métodos distributivos. Estos métodos presentan buenas propiedades, lo que hacen de ellos una herramienta eficaz para la resolución numérica de problemas de convección. En este trabajo presentamos diferentes métodos de características de segundo orden combinados con métodos de elementos finitos, cuyas semidiscretizaciones temporales se basan en: el método de Adams-Moulton de un paso (método del Trapecio) y el segundo método de la familia BDF (Backward Differentiation Formulas), de dos pasos. El método de dos pasos es semi-Lagrangiano, mientras que con el método de un paso consideramos formulaciones Lagrangianas y semi-Lagrangianas. En realidad los métodos semi-Lagrangianos de características pueden ser interpretados como métodos Lagrangianos donde la transformación es reinicializada a la identidad en cada paso de tiempo de la discretización. Existe numerosa bibliografía que estudia matemáticamente los métodos de características semi-Lagrangianos, fundamentalmente el método clásico de primer orden. Sin embargo, es escasa la que desarrolla un análisis riguroso para métodos enteramente Lagrangianos. En este trabajo analizamos matemáticamente un método de características enteramente Lagrangiano para un problema de convección-difusión cuyo coeficiente de difusión puede ser degenerado. Obtenemos resultados de estabilidad y convergencia, que en algunos casos son válidos para cualquier coeficiente tensorial de difusión, incluso para el problema de transporte (difusión nula). Además, se consigue una estimación que involucra constantes que se mantienen acotadas cuando el coeficiente de difusión tiende a cero, válida incluso para el problema de transporte. Presentamos los resultados numéricos obtenidos con diferentes métodos de características. Verificamos los órdenes de convergencia probados para el método enteramente Lagrangiano que estudiamos en este trabajo. Además, analizamos numéricamente la influencia de las fórmulas de cuadratura para distintos métodos de características. Una buena alternativa a los métodos de características es el método PSI (Positive Streamwise Implicit). Dicho método es uno de los principales métodos distributivos. El método PSI es una extensión de segundo orden para el estado estacionario del N-esquema (Narrow). Este método es bien equilibrado al segundo orden para flujos de convección dominante y es particularmente preciso en zonas de grandes gradientes o discontinuidades de la solución. En este trabajo presentamos de forma rigurosa la técnica general de discretización del término convectivo mediante los métodos distributivos. En particular, introducimos dos de los métodos distributivos más importantes: el N-esquema y el PSI. Implementamos mediante programas de ordenador dichos métodos y verificamos los resultados que predice la teoría. Por último, recordamos los modelos matemáticos implicados en los fenómenos de transporte de un fluido; y obtenemos las ecuaciones de Boussinesq que modelan los procesos de convección natural en un fluido. Dado el carácter evolutivo del problema que se quiere analizar y la importancia de la convección en el mismo y para obtener esquemas descentrados, utilizamos métodos de las características semi-Lagrangianos y Lagrangianos de segundo orden o alternativamente el método PSI en combinación con métodos de elementos finitos, para resolver numéricamente el problema acoplado de las ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento y de la energía. Los algoritmos obtenidos se implementan mediante programas de ordenador escritos en FORTRAN. Con objeto de testear los métodos propuestos resolvemos un problema bidimensional de convección natural en una cavidad cuadrada donde las paredes verticales se encuentran a distintas temperaturas y comparamos los resultados obtenidos con los presentados por otros autores.